Algebra und Diskrete Mathematik 1: Grundbegriffe der by Dietlinde Lau

By Dietlinde Lau

Algebra und Diskrete Mathematik gehören zu den wichtigsten mathematischen Grundlagen der Informatik. In diese mathematischen Teilgebiete führt Band 1 des zweibändigen Lehrbuchs umfassend ein. Dabei ermöglichen klar herausgearbeitete Lösungsalgorithmen, viele Beispiele und ausführliche Beweise einen raschen Zugang zum Thema. Die umfangreiche Sammlung von Übungsaufgaben hilft bei der Erarbeitung des Stoffs und zeigt darüber hinaus, welche unterschiedlichen Anwendungsmöglichkeiten es gibt. Die three. Auflage wurde korrigiert und erweitert.

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Beweis. (1): Angenommen, f ✷g ist keine Abbildung. Dann gibt es gewisse ur gewisse a, c, c mit c = c , (a, c) ∈ f ✷g und (a, c ) ∈ f ✷g. Folglich gilt f¨ b, b ∈ B, daß (a, b) ∈ f , (b, c) ∈ g, (a, b ) ∈ f und (b , c ) ∈ g ist. Da f eine Abbildung, erhalten wir hieraus: b = b , (b, c) ∈ g und (b, c ) ∈ g, womit g keine Abbildung ist, im Widerspruch zur Voraussetzung. 53. 3 Sei f eine bijektive Abbildung von A auf B. Dann gilt (1) f −1 ist bijektiv; (2) f ✷f −1 = idA ; (3) f −1 ✷f = idB . Der n¨ achste Satz beschreibt einen Zusammenhang zwischen Abbildungen und ¨ Aquivalenzrelationen.

B): Nachfolgend ist ein Beweis f¨ ur (b) kurz skizziert. 63). Bezeichne I die Menge aller reellen Zahlen x mit 0 < x < 1. Bereits gezeigt haben wir R ∼ I. Jede reelle Zahl x aus I l¨ aßt sich in der Form x = a1 · n X 1 1 1 1 + a2 · 2 + a3 · 3 + ... ) (a1 , a2 , ... ∈ {0, 1}) darstellen. Folglich l¨ charakterisieren. ) keine 1-Periode besitzt. 5 leicht I ∼ F \E ∼ F ∼ P(N) zeigen, woraus (b) folgt. B. 6 Boolesche Funktionen und Pr¨ adikate 35 ¨ u bijektiv, womit F ∼ F × F gilt. Als UA ¨ berlege man sich, daß hieraus (c) folgt.

16 Eine Pr¨ adikatenlogik zweiter Stufe erh¨ alt man, wenn die Quantoren nicht nur auf Variable, sondern auch auf Pr¨ adikaten- und Operationssymbole angewendet werden d¨ urfen. 6 Boolesche Funktionen und Pr¨ adikate 49 Um unseren Formeln aus F ORM einen Inhalt bzw. eine Interpretation zu geben, ben¨ otigen wir eine nichtleere Menge A (Tr¨ agermenge genannt) sowie f¨ ur alle i ∈ I und alle j ∈ J auf A definierte Operationen fiA der Stelligkeit ni und Relationen adikate PjA induzieren. Wir setzen RjA der Stelligkeit mj , die Pr¨ A := (A; (fi )i∈I , (Rj )j∈J ) und nennen A eine Struktur der Signatur δ.

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