Arbitragefreie Bewertung von Zinsderivaten by Frank Heitmann

By Frank Heitmann

Vielfalt und Handelsvolumen der Zinsderivate haben in den letzten Jahren sowohl in der Wissenschaft als auch in der Unternehmenspraxis das Interesse an der Bewertung zinsderivativer Kontrakte geweckt. Bis heute liegt jedoch kein allseits akzeptiertes Zinsoptionsbewertungsmodell vor. Den zahlreichen theoretischen Ansätzen stehen zudem nur wenige empirische Untersuchungen alternativer Modelle gegenüber. Frank Heitmann entwickelt im Rahmen des Heath/Jarrow/Morton-Ansatzes ein Gaußsches Zweifaktorenmodell und vergleicht dieses sowohl theoretisch als auch empirisch mit anderen Ein- und Zweifaktorenmodellen. Das Modell ist in der Lage, die in der historischen Entwicklung festgestellten Shifts, Reversionen und Twists der Zinsstruktur zu erklären und bestätigt sich bei empirischen exams mit deutschen Zinsoptionsscheinen.

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1 Endogene Zinsstrukturmodelle Ausgangspunkt der endogenen Zinsstrukturmodelle ist die Beschreibung der Stochastik des Momentanzinses oder anderer Zustandsvariablen. Zu unterscheiden ist dabei zwischen Arbitragemodellen (auch als partielle Gleichgewichtsmodelle bezeichnet) und allgemeinen Gleichgewichtsmodellen. ) durch eine Nutzenoptimierung endogen abgeleitet. In beiden Fällen wird jedoch aufbauend auf dem Prozeß des Momentanzinses oder der anderen Zustandsvariablen analog zu BLACK/SCHOLES durch Arbitrageüberlegungen eine fundamentale partielle Differentialgleichung abgeleitet, der alle Wertpapiere, die nur von diesen Zustandsvariablen abhängen, genügen müssen.

Klassifikation alternativer Ansätze welche mittels einer Inversion die Anpassung an die Ausgangszinsstruktur ermöglichen. Konstruktionsbedingt konsistent mit der Ausgangszinsstruktur sind die Modelle der gesamten Zinsstruktur. 1 Endogene Zinsstrukturmodelle Ausgangspunkt der endogenen Zinsstrukturmodelle ist die Beschreibung der Stochastik des Momentanzinses oder anderer Zustandsvariablen. Zu unterscheiden ist dabei zwischen Arbitragemodellen (auch als partielle Gleichgewichtsmodelle bezeichnet) und allgemeinen Gleichgewichtsmodellen.

4 (Existenz eines äquivalenten Martingalmaßes) Ein äquivalentes MartingalmaB Cd existiert in der Einperioden-Ökonomie genau dann, wenn keine Arbitragemöglichkeiten des Typs II (Free lottery) existieren. 12Die Äquivalenz der beiden Aussagen kann man sich leicht mit Hilfe der folgenden Wahrheitstafel klar machen. Arbitragefreiheit entspricht der Negation der Aussage (a) und wird mIt ,(al gekennzeichnet. 1 Zeitdiskrete Modelle Bisher haben wir gezeigt, daß die Arbitragefreiheit eines Kapitalmarktes äquivalent ist zu der Existenz eines nicht notwendigerweise eindeutigen Bewertungsfunktionals 1r bzw.

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